INTERVALOS

 1:INTERVALOS
Un intervalo es un subconjunto ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$. A tal subconjunto se le exige que para cualesquiera ${\displaystyle u,w\in I}$ y todo ${\displaystyle v\in \mathbb {R} }$ con ${\displaystyle u<v<w}$ se satisfaga que ${\displaystyle v\in I}$.²​ Específicamente, un intervalo es un subconjunto conexo de la recta real ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Es un conjunto medible y tiene la misma cardinal de la recta real, salvo el caso [a, a].³​

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.

Intervalo abierto

No incluye los extremos.

• ${\displaystyle (a,b)\ }$ o bien ${\displaystyle ]a,b[\ }$
• Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

${\displaystyle I=(a,b)=}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :\,a<x<b\}}$

En la definición de límite ordinario de una función real se considera como dominio un intervalo abierto que contiene al punto de acumulación.

En la topología usual de la recta (o ${\displaystyle \mathbb {R} }$) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto (a, b) es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura es el intervalo cerrado [a, b].⁴​ No tiene puntos aislados, mientras que todos sus puntos son puntos de acumulación del mismo intervalo.⁵​

Intervalo cerrado

Sí incluye los extremos.

• Que se indica: ${\displaystyle I=[a,b]\ }$

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=[a,b]\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \forall x\in I:\quad a\leq x\leq b}$

Si incluye únicamente uno de los extremos.

• Con la notación ${\displaystyle (a,b]\ }$ o bien ${\displaystyle ]a,b]\ }$ indicamos.

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=(a,b]\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \forall x\in I:\quad a<x\leq b}$

• Y con la notación ${\displaystyle [a,b)\ }$ o bien ${\displaystyle [a,b[\ }$,

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=[a,b)\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \forall x\in I:\quad a\leq x<b}$

Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudio de diferentes conceptos como clausura, interior, frontera, conexidad, etc.⁶​ Se usan en definición de funciones como la función máximo entero, o la función techo o función piso en matemáticas discretas y para la solución de ecuaciones que conllevan valor absoluto, la función signo, etc.⁷​

Los intervalos finitos tienen un centro de simetría que es (a + b)/2, llamado punto medio, donde los extremos son a y b con a < b. En el caso a=b, no existe punto medio y el intervalo abierto es ∅.⁸​

Intervalos con infinito

Este tipo de intervalos aparece cuando se conoce solo uno de los extremos y el otro es el infinito, es decir, un valor en términos absolutos mayor que cualquier otro, ya sea positivo o negativo. Al no poderse incluir el infinito en el intervalo, estos se consideran siempre abiertos.

Incluye un extremo e infinito por la derecha.

• Con la notación ${\displaystyle [a,\infty )\ }$ indicamos.

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=[a,\infty )\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \forall x\in I:\quad a\leq x}$

Sin incluir el extremo:

• Y con la notación ${\displaystyle (a,\infty )}$,

${\displaystyle I=(a,\infty )\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \forall x\in I:\quad a<x}$

Incluye un extremo e infinito por la izquierda.

• Con la notación ${\displaystyle (-\infty ,a]\ }$ indicamos.

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=(-\infty ,a]\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \forall x\in I:\quad x\leq a}$

Sin incluir el extremo:

• Y con la notación ${\displaystyle (-\infty ,a)}$,

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=(-\infty ,a)\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \forall x\in I:\quad x<a}$

Para todo valor real:

• Y con la notación ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$,

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=(-\infty ,\infty )\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \forall x\in R:x\in I}$