VALOR ABSOLUTO

7:VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto describe la magnitud de un número o la distancia entre puntos, pero ignora la información del signo del número o la dirección de una distancia. Un valor absoluto positivo puede representar ya sea un valor original positivo o negativo. Cuando simplificamos o resolvemos ecuaciones que incluyen expresiones con valores absolutos, debemos considerar ambas posibilidades.

Las expresiones con valores absolutos pueden incluir no sólo números, sino también variables. Esto añade otro detalle qué tomar en cuenta al momento de evaluar dichas expresiones.

El Valor Absoluto de Variables Aisladas

Veamos la ecuación simple |x| = 3. Para resolver una ecuación como ésta, con una variable dentro de barras de valor absoluto, debemos reconocer los dos posibles casos y resolver cada uno de ellos.

La expresión dentro de las barras de valor absoluto podría ser positiva. En tal caso, equivale al valor absoluto: x = 3.

O la expresión podría ser negativa, En tal caso, el valor original de la expresión es el opuesto del valor absoluto: -(x) = 3. Para obtener el valor de x, podemos multiplicar cada lado de la ecuación por -1 y obtenemos: x = -3.

Por lo que resolver la ecuación para x nos da más de una respuesta correcta. Éste es generalmente el caso para ecuaciones que incluyen el valor absoluto de una variable: tienen más de una solución.

Indicamos esto numéricamente haciendo una lista de todas las respuestas correctas, separadas por una coma. En éste ejemplo |x| = 3, la solución es x = -3, 3.

Para mostrar las soluciones en una recta numérica, ponemos un punto en ambas posiciones.

INECUASIONES RACIONALES

6:INECUASIONES RACIONALES

Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinómicas cuadráticas o polinómicas de grado mayor a 2Es uno de los que trae más complicaciones, porque una inecuación racional es una expresión de tipo fracción, donde la variable está en el numerador y el denominador.

No olvide de:

1. No multiplicar en cruz
2. Para saber si el intervalo es abierto y cerrado
   • El denominador siempre es abierto
   • Numerador depende de la desigualdad

INECUASIONES CUADRATICAS

5:INECUASIONES CUADRÁTICAS

Definición

Una inecuación cuadrática o de segundo grado es una desigualdad donde la variable tiene exponente 2 y es en su forma general de una de las formas siguientes ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c ≤ 0, ax2 + bx + c > 0 ó ax2 + bx + c ; 0, también puede tener el signo de desigualdad (d≥ bx + c), pero se puede llevar a una de las formas anteriores haciendo transformaciones equivalentes.

Ejemplo de inecuación cuadrática

x2 + 2x < 15 y 4x2 ≥ 12x -9

Sugerencias para resolver inecuaciones cuadráticas

1. Escribe la inecuación en su forma general, es decir comparada con cero.
2. Halla los ceros de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0  (Por Descomposición en factores o por la fórmula del discriminante). Si el Discriminantees menor que cero la solución es todos los reales o no tiene solución, dependiendo de la desigualdad y del signo de ¨a¨.
3. Representa esos ceros en una Recta numérica.
4. Analiza el signo de ese Trinomio en los Intervalos determinados por los ceros,  evaluando el Polinomio en valores cómodos de esos intervalos o ubicando los signos de derecha a izquierda (Si a>0 comienza con el signo más y alternando menos y luego más, si a < 0 comienza con menos y de igual forma alterna, el siguiente gráfico hace referencia en caso de ¨ a ¨ positivo).
5. Escribe la solución en notación de intervalo, teniendo en cuenta que si la desigualdad es estricta los ceros no se incluyen y en caso contrario se incluyen en la solución.

Nota importante: Después de comparar con cero se obtiene una Función cuadrática y por eso es que se buscan sus ceros y se hace el análisis de los signos de dicha función en esos Intervalos, ya que la función cuadrática representa una Parábola que puede abrir hacia arriba o hacia abajo según el signo de a. Gráfico de una parábola

Ejemplo resuelto

Halla la solución de la siguiente inecuación cuadrática.

1) x2 – 2x > 3

Respuesta.

1. x2 – 2x – 3 > 0

x2 – 2x – 3 = 0

(x – 3) (x+1) = 0 x = -1 ó x = 3

Rta. x Real: x > 3 ó x < -1 También se puede dar la respuesta en forma de intervalo

S = ]-∞, -1[ U ] 3,+∞[

INECUASIONES SIMULTANEAS

4:INECUASIONES SIMULTANEAS

Denominamos “Sistema de ecuaciones simultáneas” a un sistema que contempla un conjunto de 2 o más ecuaciones lineales. Por ejemplo:

S.E.L = Sistema de ecuaciones lineales simultáneas

Se empieza a considerar una ecuación miembra de un S.E.L cuando esta posee más de una variable, ya que en caso contrario no tendría sentido formar un S.E.L de ecuaciones de una variable si tienen solución independiente cada una facilmente.. Puesto que el objetivo de un S.E.L es encontrar la solución común de un conjunto de ecuaciones.

Por ejemplo, el S.E.L anterior podríamos suponer que los siguientes numeros (12, 36) son la solución a tal S.E.L, aunque sabemos que nos es así unicamente es para indicar que consideramos como solución común. Una secuencia de valores que en estudios superiores adquiere otro nombre.

Existen 3 tipos de casos presentes al momento de determinar la solución de un S.E.L:

1.- Que tenga una solución única.
2.- Que no tenga solución.
3.- Que tenga una solución infinita.

INECUASIONES

3:INECUASIONES

Del mismo modo en qué se hace la diferencia de igualdad y ecuación, una inecuación que es válida para todas las variables se llama inecuación incondicional y las qué son válidas sólo para algunos valores de las variables se conocen cómo inecuaciones condicionales.¹​ Los valores que verifican la desigualdad, son sus soluciones.

• Ejemplo de inecuación incondicional: ${\displaystyle |x|\leq |x|+|y|}$.
• Ejemplo de inecuación condicional: ${\displaystyle -2x+7<2}$.

Clasificación

Los criterios más comunes de clasificación del ejemplo: ${\displaystyle x<0}$.

• • De dos incógnitas. Ejemplo: ${\displaystyle x<y}$.
  • De tres incógnitas. Ejemplo: ${\displaystyle x<y+z}$.
  • etc.

• Según la potencia de la incógnita,
  • De primer grado o lineal. Cuando el mayor exponente de la incógnita de la inecuación es uno. Ejemplo: ${\displaystyle x+1<0}$.
  • De segundo grado o cuadrática. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es dos. Ejemplo: ${\displaystyle x^{2}+1<0}$.
  • De tercer grado o cúbica. Cuando el mayor exponente de cualquiera de sus incógnitas es tres. Ejemplo: ${\displaystyle x^{3}+y^{2}<0}$.
  • etc.

Nota: estas clasificaciones no son mutuamente excluyentes, como se muestra en el último ejemplo.

Inecuaciones de segundo grado con una incógnita

Se expresan a través de cualquiera de las desigualdades siguientes (con a, b y c números reales, y a distinto de cero):

• ${\displaystyle ax^{2}+bx+c<0}$
• ${\displaystyle ax^{2}+bx+c\leq 0}$
• ${\displaystyle ax^{2}+bx+c>0}$
• ${\displaystyle ax^{2}+bx+c\geq 0}$
• a = 0

DESIGUALDAD

2:DESIGUALDAD

En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos valores cuando éstos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es una igualdad).

Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.

• La notación a < b significa a es menor que b;
• La notación a > b significa a es mayor que b

estas relaciones se conocen como 'desigualdades estrictas, puesto que a no puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o "estrictamente mayor que".

• La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
• La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;

estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no estrictas).

• La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
• La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b;

esta relación indica por lo general una diferencia de varios órdenes de magnitud.

• La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.

Para tener en cuenta:

Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los elementos que se están comparando; didáctica mente se enseña que la abertura está del lado del elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es recordando que el signo señala/apunta al elemento menor.

Propiedades

Las desigualdades están gobernadas por las siguientes propiedades. Notar que, para las propiedades intransitividad, adición, sustracción, multiplicación y división, la propiedad también se mantiene si los símbolos de desigualdad estricta (< y >) son reemplazados por sus correspondientes símbolos de desigualdad no estricta (≤ y ≥).

Transitiva

• Para números reales arbitrarios a,b y c:

• Si a > b y b > c entonces a > c.
• Si a < b y b < c entonces a < c.
• Si a > b y b = c entonces a > c.
• Si a < b y b = c entonces a < c.

Adición y sustracción

• Para números reales arbitrarios a,b y c:

• Si a < b entonces a + c < b + c y a − c < b − c.
• Si a > b entonces a + c > b + c y a − c > b − c.

Multiplicación y división

• Para números reales arbitrarios a y b, y c diferente de cero:

• Si c es positivo y a < b entonces ac < bc y a/c < b/c.
• Si c es negativo y a < b entonces ac > bc y a/c > b/c.

Opuesto

• Para números reales arbitrarios a y b:

• Si a < b entonces −a > −b.
• Si a > b entonces −a < −b.

Recíproco

• Para números reales a y b distintos de cero, ambos positivos o negativos a la vez:

• Si a < b entonces 1/a > 1/b.
• Si a > b entonces 1/a < 1/b.

• Si a y b son de distinto signo:

• Si a < b entonces 1/a < 1/b.
• Si a > b entonces 1/a > 1/b.

Función monótona

Al aplicar una función monótona creciente a ambos lados, la desigualdad se mantiene. Si se aplica una función monótona decreciente, la desigualdad se invierte.

Ejemplo

${\displaystyle a<b\Leftrightarrow e^{a}<e^{b}}$

al aplicar la función exponencial a ambos miembros de la desigualdad, esta se mantiene.

Valor absoluto

Se puede definir el valor absoluto por medio de desigualdades:

• 
• ${\displaystyle |a|\geq b\iff -b\geq a\vee a\geq b}$

INTERVALOS

 1:INTERVALOS
Un intervalo es un subconjunto ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$. A tal subconjunto se le exige que para cualesquiera ${\displaystyle u,w\in I}$ y todo ${\displaystyle v\in \mathbb {R} }$ con ${\displaystyle u<v<w}$ se satisfaga que ${\displaystyle v\in I}$.²​ Específicamente, un intervalo es un subconjunto conexo de la recta real ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Es un conjunto medible y tiene la misma cardinal de la recta real, salvo el caso [a, a].³​

Existen dos notaciones principales: en un caso se utilizan corchetes y corchetes invertidos, en el otro corchetes y paréntesis; ambas notaciones están descritas en el estándar internacional ISO 31-11.

Intervalo abierto

No incluye los extremos.

• ${\displaystyle (a,b)\ }$ o bien ${\displaystyle ]a,b[\ }$
• Notación conjuntista o en términos de desigualdades:

${\displaystyle I=(a,b)=}$ ${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :\,a<x<b\}}$

En la definición de límite ordinario de una función real se considera como dominio un intervalo abierto que contiene al punto de acumulación.

En la topología usual de la recta (o ${\displaystyle \mathbb {R} }$) se usa un intervalo abierto para definir un conjunto abierto en dicha topología. En la topología usual de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, un intervalo abierto es un conjunto abierto. El intervalo abierto (a, b) es igual a su interior, su frontera es el conjunto {a, b} y su clausura es el intervalo cerrado [a, b].⁴​ No tiene puntos aislados, mientras que todos sus puntos son puntos de acumulación del mismo intervalo.⁵​

Intervalo cerrado

Sí incluye los extremos.

• Que se indica: ${\displaystyle I=[a,b]\ }$

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=[a,b]\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \forall x\in I:\quad a\leq x\leq b}$

Si incluye únicamente uno de los extremos.

• Con la notación ${\displaystyle (a,b]\ }$ o bien ${\displaystyle ]a,b]\ }$ indicamos.

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=(a,b]\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \forall x\in I:\quad a<x\leq b}$

• Y con la notación ${\displaystyle [a,b)\ }$ o bien ${\displaystyle [a,b[\ }$,

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=[a,b)\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \forall x\in I:\quad a\leq x<b}$

Los cuatro tipos de intervalos anteriores se llaman finitos; los expertos asignan como su longitud |b- a|. Son muy útiles en el análisis matemático y en los temas de topología general, para el estudio de diferentes conceptos como clausura, interior, frontera, conexidad, etc.⁶​ Se usan en definición de funciones como la función máximo entero, o la función techo o función piso en matemáticas discretas y para la solución de ecuaciones que conllevan valor absoluto, la función signo, etc.⁷​

Los intervalos finitos tienen un centro de simetría que es (a + b)/2, llamado punto medio, donde los extremos son a y b con a < b. En el caso a=b, no existe punto medio y el intervalo abierto es ∅.⁸​

Intervalos con infinito

Este tipo de intervalos aparece cuando se conoce solo uno de los extremos y el otro es el infinito, es decir, un valor en términos absolutos mayor que cualquier otro, ya sea positivo o negativo. Al no poderse incluir el infinito en el intervalo, estos se consideran siempre abiertos.

Incluye un extremo e infinito por la derecha.

• Con la notación ${\displaystyle [a,\infty )\ }$ indicamos.

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=[a,\infty )\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \forall x\in I:\quad a\leq x}$

Sin incluir el extremo:

• Y con la notación ${\displaystyle (a,\infty )}$,

${\displaystyle I=(a,\infty )\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \forall x\in I:\quad a<x}$

Incluye un extremo e infinito por la izquierda.

• Con la notación ${\displaystyle (-\infty ,a]\ }$ indicamos.

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=(-\infty ,a]\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \forall x\in I:\quad x\leq a}$

Sin incluir el extremo:

• Y con la notación ${\displaystyle (-\infty ,a)}$,

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=(-\infty ,a)\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \forall x\in I:\quad x<a}$

Para todo valor real:

• Y con la notación ${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$,

En notación conjuntista:

${\displaystyle I=(-\infty ,\infty )\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle \forall x\in R:x\in I}$